考纲要求

　　1理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

　　2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

　　重点、难点归纳

　　1数列的有关概念

　　数列：按照一定的次序排列的一列数。

　　通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。

　　2数列的表示法

　　列举法：如a1，a2，a3，...，an，...

　　图象法：用孤立的点(n，an)来表示

　　解析法：即用通项公式来表示

　　递推法：一个数列的各项可由它的前m项的值以及与它相邻的m项之间的关系来表示

　　3数列的分类

　　有穷数列与无穷数列

　　有界数列与无界数列

　　常数列、递增数列、递减数列、摆动数列

　　4an与Sn的关系

　　Sn=a1+a2+a3+...+an;an=S1(n=1时)，an=Sn-Sn-1(n≥2时)。

　　5等差数列与等比数列概念比较

　　等差数列

　　等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，则这个数列就叫做等差数列，其中的常数叫做等差数列的公差，用字母d表示。

　　如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，则这个数列就叫做等比数列，其中的常数叫做等比数列的公比，用字母q表示。通项等差数列：an=a1+(n-1)d。

　　an=am+(n-m)d

　　等比数列：an=a1qn-1。

　　an=amqn-m。中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，并且。

　　如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，并且。

　　前n项和公式

　　等差数列{an}前n项的和为。

　　Ⅰ.设数列是等差数列，其奇数项之和为、偶数项之和为，那么，当项数为偶数2n时，;当项数为奇数2n+1时，

　　Ⅱ.在等差数列{｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。Ⅲ.等比数列{an}前n项的和为Sn=na1，(q=1时);Sn=，(q≠1时)。

　　6等差数列与等比数列的常用性质比较

　　等差数列

　　等比数列

　　与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和;

　　与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积

　　对于等差数列{an}，若p+q=m+n，则ap+aq=am+an。

　　对于等比数列{an}，若p+q=m+n，则apaq=aman。

　　项数成等差数列的等差数列的项仍然是等差数列;

　　项数成等差数列的等比数列的项仍然是等比数列;

　　和S2n-1=(2n-1)an;

　　积T2n-1=an2n-1

　　m个等差数列，它们的各对应项之和组成一个新的等差数列;

　　m个等比数列，它们的各对应项之积组成一个新的等比数列;

　　若对等差数列按连续m项进行分组，则每组中m项的和所组成的数列是等差数列。

　　若对等比数列按连续m项进行分组，则每组中m项的和所组成的数列是等比数列。

　　(1)正数等比数列各项的(同底)对数值，依次组成等差数列.即{ ｝为等比数列且 (i=1,2......,n,......) { ｝( 且 )为等差数列;若定义 = ，则{ ｝亦为等差数列.

　　(2)取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a>0且a≠1，则{ ｝为等差数列 { ｝为等比数列.

　　(3){ ｝既是等差数列，又是等比数列 { ｝是非零常数列.

　　学法探秘

　　1对数列的理解

　　用函数的观点理解数列

　　数列是定义在自然数集或其有限子集上的函数。数列问题本质上就是函数问题，所以要学会用函数观点看数列问题。

　　a.对于等差数列，∵an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个点.当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列;同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列;d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.

　　若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn(p、q∈R).当p=0时，{an}为常数列;当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.

　　b.对于等比数列：an=a1qn-1.可用指数函数的性质来理解.

　　当a1>0，q>1或a1<0，0

　　当a1>0，01时，等比数列{an}是递减数列.

　　当q=1时，是一个常数列.

　　当q<0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.

　　注意数列与集合的区别与联系

　　数列与集合都是具有某种属性的数的全体，只不过数列中的数有次序而且可以重复出现。

　　数列的通项公式

　　数列的通项公式可以代表数列中的任何一项，但并不是每一个数列均有通项公式。反之，当一个数列有通项公式时，其通项公式并不唯一。

　　2等差数列与等比数列的判定方法

　　为等差数列?an+1-an=d(d为常数)?2an+1=an+an+2(n?N)?an=kn+b(k、b为常数)?Sn=An2+Bn(A、B为常数)

　　{a}为等比数列?=q(q为非零常数)?an+12=anan+2(n?N)?an=pqn(p、q为非零常数)?Sn=mqn-m(m、q为非零常数)

　　3灵活运用定义、注意对称设元、尽量设而不求、并记住一些有用的结论，这样有助于提高解题速度。

　　如等差数列中有an=am+(n-m)d，等比数列中有an=amqn-m;

　　又如已知三数成等差数列时，可设这三个数为a-d、a、a+d，若已知四个数成等比数列时，可设这四个数为、、aq、aq3;(四个数同号)。

　　再比如在等差数列中，若ap=q，aq=p，则ap+q=0;若Sm=n，Sn=m，则Sm+n=-(m+n)等等。

　　4重点掌握方程思想

　　在求解"知三求二"的问题时，要恰当选用公式、积极减少运算量，在解题时要有目标意识：需要什么，就求什么，以便达到快速准确的求解目的。在分析和解决有关数列的综合题时要注意运用数学思想方法，对等比数列的求和应注意对公比是否等于1进行分类讨论。

　　典型例析

　　例1完成下列各题

　　(1)已知四个数-9、a1、a2、-1成等差数列;五个数-9、b1、b2、b3、-1成等比数列。则b2(a2-a1)等于

　　A.-8 B.8 C.- D.

　　(2)在等比数列{an}中，已知对于任意的自然数n，都有a1+a2+a3+...+an=2n-1，则a12+a22+a32+...+an2等于

　　A.4n-1 B.(4n-1) C.(2n-1)2 D.(2n-1)2

　　分析：(1)要求b2(a2-a1)的值，由于a2-a1与b2没有必然的联系，因此应在两个数列中分别求a2-a1和b2。显然，a2-a1是等差数列的公差，b2是等比数列的中项，从而本题为等差、等比数列的基本问题。

　　(2)我们知道，若数列{an}是公比为q的等比数列，那么数列{an2}是公比为q2的等比数列。因此，要求等比数列{an2}的前n项和，关键是求首项和公比。因为对于任意自然数n，都有a1+a2+a3+...+an=2n-1，所以可取n=1、2，求出a1和a2，从而可求出公比q=。也可以利用an=Sn-Sn-1先求出an，便可观察出首项和公比。

　　解：(1)由-1=-9+3(a2-a1)得a2-a1=。

　　再由b22=b1b3=(-9)(-1)得b2=?3。

　　因为等比数列的奇数项同号，所以b2=-3。

　　故b2(a2-a1)=-8，从而选A。

　　(2)方法一：在a1+a2+a3+...+an=2n-1中分别取n=1、2，得a1=1,a1+a2=3，所以a1=1,a2=2，

　　于是等比数列{an}的公比为q=2。

　　又{an2}是首项为a12=1，公比为q2=4的等比数列。

　　所以a12+a22+a32+...+an2==(4n-1)，故选B。

　　方法二：因为a=(a1+a2+a3+...+an-1+an)-(a1+a2+a3+...+an-1)=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1。

　　所以a1=1，q=2。

　　以下同方法一，略。

　　例2已知{an}为等差数列，公差d≠0，{an}中的部分项所组成的数列，，，...，，...恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17。

　　(1)求kn;

　　(2)求证：k1+k2+k3+...+kn=3n-n-1。

　　分析：(1)易知是等比数列中的第n项，于是有=a1qn-1;另一方面，是等差数列中的第kn项，又有=a1+(kn-1)d。从而得a1qn-1=a1+(kn-1)d。

　　在上式中除了kn为所求外，a1、d和q均为待定系数。虽然a1、d和q不必都求出来，但从式子的结构看，需求出a1与d的关系和q的值。

　　从何入手呢?注意到k1=1，k2=5，k3=17，我们可以利用等比数列的子数列，，，即a1，a5，a17也成等比数列，据此可以求出d与a1的关系和q的值。

　　(2)要证明k1+k2+k3+...+kn=3n-n-1，实质上是求数列{kn}的前n项的和，而这可以由通项kn来确定。

　　解：(1)由题设知，，即a1，a5，a17成等比数列，

　　所以a52=a1a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)。

　　因d≠0，所以a1=2d

　　于是公比q==3

　　所以=qn-1=a1?3n-1

　　又=a1+(kn-1)d=a1+(kn-1) ?

　　所以a1+(kn-1) ?= a1?3n-1

　　因而kn=2?3n-1-1

　　(2)k1+k2+k3+...+kn=(2?30-1)+(2?3-1)+...+(2?3n-1-1)=2(1+31+32+...+3n-1)-n=3n-n-1

　　说明：在求得d=和公比q=3后，还有如下更为简捷的解法：因为所以{kn+1}是首项为k1+1=2，公比为3的等比数列

　　所以kn+1= 2?3n-1，即kn=2?3n-1-1。下略。例3已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，数列{bn}满足b1=20，b7=5，且(bn+1-bn+2)logma1+(bn+2-bn)logma3+(bn-bn+1)logma5=0。

　　(1)求数列{bn}的通项公式;

　　(2)设Sn=|b1|+|b2|+|b3|+...+|bn|，求Sn。

　　分析：(1)要求通项bn，关键在于确定数列{bn}的性质。题设给出了数列{bn}所满足的关系式，看上去很复杂，但若注意到等式左边各项"系数"之和(bn+1-bn+2)+(bn+2-bn)+(bn-bn+1)=0，问题便容易解决。

　　(2)当数列{bn}的性质确定以后，便容易求得Sn，但要注意bn的正负。

　　解：(1)将logma3=logm(a1q2)=logma1+2logmq与logma5=logm(a1q4)=logma1+4logmq代入已知等式，整理得2(bn-2bn+1+bn+2)logmq=0

　　因为q≠1，所以logmq≠1

　　于是有bn-2bn+1+bn+2=0，即bn+bn+2=2bn+1

　　故{bn}是等差数列。

　　设其公差为d，则由b7=b1+6d可得d=-。

　　所以bn=20+(n-1) ? (-)=-n+。

　　(2)令bn=0，得n=9。

　　当n≤9时，bn≥0，

　　则Sn=b1+b2+...+bn=20n+。

　　当n>9时，bn<0，

　　有Sn=b1+b2+...+b9-b10-b11-...-bn

　　=2(b1+b2+...+b9)-(b1+b2+...+bn)

　　=180-()=。

　　所以n≤9时，S=;n>9时，S=。

　　例4.(2007浙江)已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程 的两个根，且≤　(k =1，2，3，...).

　　(I)求及 (n≥4)(不必证明);(Ⅱ)求数列{}的前2n项和S2n.

　　(I)解：方程的两个根为.

　　当k=1时，，所以;

　　当k=2时，，所以;

　　当k=3时，，所以;

　　当k=4时，，所以;

　　因为n≥4时，，所以

　　(Ⅱ)=。

　　例5.如图是一个计算装置示意图，J1、J2是数据入口，C是数据出口，计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n，经过计算后自然数k由C输出。若此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：

　　(1)若J1、J2分别输入1，则输出结果为1;

　　(2)若J1输入任何固定的自然数不变，J2输入的自然数增大1，则输出的结果比原来增大2;

　　(3)若J2输入1，J1输入的自然数增大1，则输出的结果为原来的2倍。

　　试问：(1)若J1输入1，J2输入自然数n，输出结果为多少?

　　(2)若J2输入1，J1输入自然数m，输出结果为多少?

　　(3)若J1输入自然数m，J2输入自然数n，输出结果为多少?

　　分析：本题的信息量较大，粗看不知如何下手，但若把条件写成一个二元函数，并把它看作某一个变量的函数，抽象出等差或等比数列的模型，问题便迎刃而解。

　　解：由题意，若取f(m,n)=k，则有f(1,1)=1，f(m,n+1)=f(m,n)+2，f(m+1,1)=2f(m,1)。

　　(1)在f(m,n+1)=f(m,n)+2中令m=1，则有f(1,n+1)=f(1,n)+2。

　　由此可知f(1,1)，f(1,2)，...，f(1,n)，...组成一个以f(1,1)为首项，2为公差的等差数列。

　　故f(1,n)=f(1,1)+2(2n-1)=2n-1。

　　(2)因为f(m+1,1)=2f(m,1)。

　　所以f(1,1)，f(2,1)，...，f(m,1)，...组成一个以f(1,1)为首项，2为公比的等比数列。

　　所以f(m,1)=f(1,1)2m-1=2m-1。

　　(3)因为f(m,n+1)=f(m,n)+2。

　　所以f(m,1)，f(m,2)，...，f(m,n)，...组成一个以f(m,1)为首项，2为公差的等差数列。

　　所以f(m,n)=f(m,1)+2(n-1)=2m-1+2n-2。

　　说明：本题是一道典型的具有时代信息的信息迁移题，选择解题的突破口比较困难。要将文字语言转化为数学符号语言，建立数学模型，就要有扎实的基础和较强的抽象、概括能力。这是一道考查分析问题和解决问题能力的典型范例。

　　等差、等比数列强化训练

　　一、选择题

　　1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)集合A={1,2,3,4,5,6},从集合A中任选3个不同的元素组成等差数列，这样的等差数列共有( )

　　A、4个 B、8个 C、10个 D、12个

　　2.(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)如果数列{an}满足是首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于

　　A.2100 B.299 C.25050 D.24950

　　3. (北京市东城区2008年高三综合练习一)已知等比数列{}的前n项和为Sn，且S3=7a1则数列{}的公比q的值为( )

　　A.2 B.3 C.2或-3 D.2或3

　　4.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知等差数列的前n项和为，若，则等于

　　A. 18 B. 36

　　C.54 D. 72

　　5.(北京市宣武区2008年高三综合练习一)设等比数列的首项为，公比为q ，则"< 0 且0< q <1"是"对于任意都有"的 ( )

　　A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

　　C充分比要条件 D 既不充分又不必要条件

　　6.(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有( )

　　A. B. C. D.

　　7.(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)已知等差数列和的前n项和分别为，且，则使得为整数的正整数n的个数是( )

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　8.(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即"逢二进一"，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是= 13，那么将二进制数转换成十进制形式是( ).

　　A. B. C. D.

　　9.(湖北省八校高2008第二次联考)在数列中，，若(为常数)，则称为"等差比数列". 下列是对"等差比数列"的判断：

　　①不可能为0 ②等差数列一定是等差比数列

　　③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0

　　其中正确的判断是( )

　　A.①② B.②③ C.③④ D.①④

　　10、在等差数列中，若，则有等式成立.类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.

　　11、设是首项为1的正项数列，且(n=1，2，3...)，则它的通项公式是=_________。

　　12、设{}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和。若{}是等差数列，则q = __________________。

　　13、已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列.又，.

　　(Ⅰ) 证明为等比数列;

　　(Ⅱ) 如果数列前3项的和等于，求数列的首项和公差.

　　14、已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列;

　　答案：D D C D A B B C D

　　8、解析：，10、一、选择题

　　1.(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数R，等式成立.若数列满足，且(N*)，则的值为( )

　　A. 4016 B.4017 C.4018 D.4019答案 B2.(2009厦门乐安中学)在等差数列等于( )

　　A.55 B.40 C.35 D.70答案 B3. (湖北省2009年3月高三八校第二次联考理科) 等差数列中，是其前项和，，，则的值为( )答案 C4.(2009宁乡一中第三次月考)等差数列中，，，且，为其前项之和，则( )

　　A.都小于零，都大于零

　　B.都小于零，都大于零

　　C.都小于零，都大于零

　　D.都小于零，都大于零答案 C5.(辽宁省沈阳二中2008-2009学年上学期高三期中考试)

　　数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值 ( )

　　A.10 B.9 C.8 D.7

　　答案：A.

　　一、选择题

　　1.(2008江西卷)在数列中，， ，则( )

　　A. B. C. D.答案 A2.(2007福建)数列的前项和为，若，则等于(　　)

　　A.1 B. C. D.答案 B3.(2007宁夏)已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于(　　)

　　A.3 B.2 C.1 D.答案 B4.(2006江西卷)已知等差数列{an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200=( )

　　A.100 B. 101 C.200 D.201

　　解析 依题意，a1+a200=1，故选A答案 A5. (2005重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( )

　　A. 4 B.5.

　　C.6 D.7答案 C创新园地

　　1把等差数列{an}的所有项依次排列，并作如下分组：

　　(a1)，(a2,a3)，(a4,a5,a6,a7)，...

　　其中第一组1个数，第二组2个数，第三组22个数，...，第n组2n-1个数。

　　记Tn为其中第n组中各数的和，并且T3=-48，T4=0。

　　(1)求数列{Tn}的通项公式;

　　(2)设数列{Tn}的前n项和为Sn，求S8的值。

　　2已知定义域为的函数f(x)，对定义域内任意x都满足f(x+2)=f(x)，又知区间上函数的表达式是f(x)=2x-1，若数列{xn}由f(xn)=-(n=1,2,3,...)定义，2(n-1)≤x<2n，试写出数列{xn}的通项公式。