§19.1 命题与定理

一、命题

1、关于"定义"的定义：能明确指出概念含义或特征的句子称为定义。

2、命题的定义：对事情进行正确或者错误判断的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题

3、理解"命题"时注意：（1）命题是能判断正确或错误的句子，如"两直线平行"这个句子，我们无法判断其正确还是错误的，因此它不是命题。（2）错误的命题也是命题，只是它是假命题而已。

4、命题的结构

任何命题的结构都是一样的，即，命题有题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

任何命题都写成"如果……，那么……"的形式。"如果"后面是题设，"那么"后面是结论。

二、公理、定理

1、公理：人们从长期实践中总结出来的，并作为把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。

2、定理：有些命题从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

3、证明：根据题设、定义、公理、定理等，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。

证明"文字命题"的一般步骤为：（1）根据题意，画出图形；（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据。

§19.2 三角形全等的判定

一、全等形

1、定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，简称全等形。

2、一个图形经过翻折、平移和旋转等变换后所得到的图形一定与原图形全等。反之，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。

二、全等多边形

1、定义：能够完全重合的多边形叫做全等多边形。互相重合的点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

2、性质：

（1）全等多边形的对应边相等，对应角相等。（2）全等多边形的面积相等。

三、全等三角形

1、全等符号："≌"。如图，不是为：△ABC≌△A′B′C′。读作：三角形ABC全等于三角形A′B′C′。

2、全等三角形的判定定理

（1）有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。（即SAS，"边角边"）；（2）有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。（即ASA，"角边角"）（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。（即AAS，"角角边"）（4）有三边对应相等的两三角形全等。（即SSS，"边边边"）（5）有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。（即HL，"斜边直角边"）

3、全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形对应边上的中线、高，对应角的平分线都相等。

4、全等三角形的作用

（1）用于直接证明线段相等，角相等。（2）用于证明直线的平行关系、垂直关系等。（3）用于测量人不能的到达的路程的长短等。（4）用于间接证明特殊的图形。（如证明等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等）。（5）用于解决有关等积等问题。

§19.3 尺规作图

一、定义：在几何中，把限定用直尺（无刻度）和圆规作图的方法，称为尺规作图。最基本最常用的尺规作图，称为基本作图。

二、五种基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知角的平分线；4、经过一点作已知直线的垂线；5、作已知线段的中垂线。

三、几何作图题：一般由基本作图构成，所以作图时，先分析是由那些基本作图构成再作。

§19.4 逆命题与逆定理

一、逆命题与逆定理

（一）逆命题

1、定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。

2、每个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改为结论，并将原命题的结论改为题设，便可得到原命题的逆命题。

3、原命题正确，它的逆命题未必正确。

（二）逆定理

1、如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理。其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。

2、虽然每个命题都有逆命题，但每个定理不一定有逆定理，因此一个定理有无逆定理，应先写出它的逆命题，经过推理论证得到它是一个真命题，才能说明这个逆命题为原定理的逆定理。

3、要证明一个命题的正确性，必须通过推理证明其正确性；而要说明一个命题是假命题，只需举出反例，即在给出命题题设的条件下，得到这个命题的结论相反或不同的结论，从而说明原命题是假命题。

（三）公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。

二、等腰三角形

（一）性质定理：1、定理：等腰三角形的两底角相等。（简称"等边对等角"）；2、定理的作用：证明在同一个三角形中的两个角相等。3、等腰三角形性质定理的推论

（1）等腰三角形的顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（即"等腰三角形的三线合一"）

（2）等边三角形各角都相等，并且每个角为60o。等边三角形三边对应的都有"三线合一"的情况。

（二）判定定理

1、定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等。（简写成"等角对等边"）2、判定定理的作用：证明同一个三角形中两条边相等。3、等腰三角形判定定理的推论

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形；（3）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30o的，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（三）等边三角形的判定

1、三边都相等的三角形叫做等边三角形；2、三个角都相等的三角形是等边三角形；3、有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形；

（四）直角三角形（Rt△）的判定

1、有一个角是90o的三角形是直角三角形；2、一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；3、若a2+b2=c2，则a、b、c为边的三角形是直角三角形。

三、角平分线

1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

2、判定定理：（1）把一个角分成相等的两部分射线叫做角平分线；（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3、三角形的三条角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线交于一点。并且这一点到三条边的距离相等。

四、线段的垂直平分线

1、性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；

2、判定定理：（1）经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线称为这条线段的垂直平分线；（2）到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3、三角形的三边的垂直平分线的性质定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。